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广东高考真题。2013数列高考题。2013高考精典数列通项题解

申祺晶编著

笔友教育网

1. 已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比________. (5分)

【参考答案】 .
【相关知识点】 等比数列
【试题解答】
或.
是递增的等比数列，.
1. 已知等差数列的前项和满足．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和． (12分)

【参考答案】 见解析
【相关知识点】 数列的求和；等差数列的通项公式．
【试题解答】 （Ⅰ）设数列的首项为，公差为，则．
由已知可得，即，解得，
故的通项公式为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
从而数列的前项和

.
4. 设数列满足，，且对任意，函数满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若求数列的前项和． (13分)

【参考答案】 见解析
【相关知识点】 数列的求和；导数的运算；等差关系的确定；等比关系的确定．
【试题解答】 （I）∵，．
∴对任意都成立．
∴数列是等差数列，设公差为，
∵，，∴，解得．
∴．
（II）由（I）可得，，
∴

.
5. 已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的最大项的值与最小项的值． (12分)

【参考答案】 见解析
【相关知识点】 等差数列与等比数列的综合，等比数列的通项公式
【试题解答】 （I）设等比数列的公式为，
成等差数列．
，
即，
故，
又∵数列不是递减数列，且等比数列的首项为，
，
∴数列的通项公式；
（II）由（I）得
，
当为奇数时，随的增大而减小，所以，
故，
当为偶数时，随的增大而增大，所以，
故，
综上，对于，总有，
故数列的最大项的值为，最小项的值为.

8. 已知等比数列的公比为，记，，则以下结论一定正确的是（　　）. (5分) 数列为等差数列，公差为
数列为等比数列，公差为
数列为等差数列，公差为
数列为等差数列，公差为




【参考答案】 C
【试题解答】 ①，
当时，，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；
当时，，
此时，选项B不正确，
又，不是常数，故选项A不正确，
②∵等比数列的公比为，，
，
，故C正确D不正确．
综上可知：只有C正确．
2. 设是公比为的等比数列．
（Ⅰ）试推导的前项和公式；
（Ⅱ） 设，证明数列不是等比数列． (12分)

【参考答案】 见解析
【相关知识点】 等比数列的前项和，等比关系的确定
【试题解答】 （I）当时，；
当时，由，
得，
两式错位相减得 ①
由等比数列的定义可得，
，
①化为，
，
；
（Ⅱ）用反证法：设是公比为的等比数列，数列是等比数列．
①当存在，使得成立时，数列不是等比数列．
②当，使得成立时，则，
化为，
，故矛盾．
综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．

6. 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为．
（Ⅰ）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意），写出的值；
（Ⅱ）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列；
（Ⅲ）证明：若，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． (14分)

【参考答案】 见解析
【相关知识点】 反证法与放缩法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，等差关系的确定，等比关系的确定
【试题解答】 （Ⅰ）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，，
．
（Ⅱ）充分性：设是非负整数，若是公差为的等差数列，
则，
，
必要性：若 ，
假设是第一个使的项，
则，这与相矛盾，
故是一个不减的数列．
，即 ，
故是公差为的等差数列．
（Ⅲ）证明：若，
则的项不能等于零，否则，矛盾．
而且还能得到的项不能超过2，用反证法证明如下：
假设的项中，有超过2的，
设是第一个大于2的项，则，
这与已知相矛盾，故假设不对，
即的项不能超过2，故的项只能是1或者2．
下面用反证法证明的项中，有无穷多项为1．
若是最后一个1，则，矛盾，
故的项中，有无穷多项为1．
综上可得，的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
2. 设数列都是等差数列，若，，则____________. (5分)

【参考答案】
【相关知识点】 等差数列的性质
【试题解析】

（解法一）由题意，设数列的公差为，数列的公差为，
则，
所以.
所以.


（解法二）因为数列都是等差数列，
所以数列也是等差数列，
故由等差中项的性质，得，
即，

解得.