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用数学归纳法解2013年广东高考数学理科压轴题

用数学归纳法解2013年广东高考数学理科压轴题

用数学归纳法解2013年广东高考数学理科压轴题
笔友教育网申祺晶
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本文用数学归纳法证明通项公式是一个亮点,它不需要很复杂的运算,只运用sk+1=sk+ak+1这一简单知识点,同时从特殊到一般的演绎证明,可以看到推理与证明的实际应用,是一个典型的另解问题。
  
2013年广东高考数学理科压轴题
19.(本小题满分14分)
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2sn/n =an+1- n^2/3 – n -2/3 ,n∈N+.
(1)求a2的值
(2)求数列{an}的通项公式
(3) 证明:对一切正整数n,有1/a1+1/a2+1/a3 +…+1/an <7/4
解 (1)a1=1,2sn/n =an+1- n2/3 – n -2/3,令n=1,a2=4,
(2)令n=2,a3=9,n=3,a4=16,猜想an=n^2,即n的平方 。
现用数学归纳法证明如下:
1.当n=1时,命题显然成立;
2.设n=k时,命题an=n2成立,则由 ,
= = 解得
当n=k+1时,  解得
命题an=n2成立。

(3)放缩法(3)n=1,n=2时命题成立,
n>=3时,用放缩法,裂项法。n^2>(n-1)n,1/n^2<1/(n-1)n=1/(n-1)-1/n容易证明
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