admin

2014北京真题。 6. 已知函数．
（Ⅰ）求在区间上的最大值；
（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论） (13分)

  【参考答案】  见解析
  【试题解答】  （Ⅰ）由得，
令，得或，
因为，
所以在区间上的最大值为；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为，
因此.
整理得.
设
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，
，与的情况如下：















      
所以，是的极大值，是的极小值．
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，
所以多有2个零点．
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，
所以多有2个零点．
当且，即时，因为，
所以 分别在区间和 上恰有1个零点.
综上可知，当过点 存在直线与曲线 相切时， 的取值范围是；
（Ⅲ）过点存在条直线与曲线相切；
过点存在条直线与曲线相切；
过点存在条直线与曲线相切.