admin

技巧逐字逐句等价数与形

5. 已知，函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的最大值． (15分)

【参考答案】 见解析
【相关知识点】 利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数求闭区间上函数的最值
【试题解答】 （1）因为，所以，
故，又，所以所求的切线方程为；
（2）由于，
故当时，有，此时在上单调递减，
故，
当时，有，此时在上单调递增，
故，
当时，由，得，
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数的极大值，极小值，
故，
从而，
所以，
当时，，
又，
故，
当时，，且，
又，
所以当时，，
故，
当时，，
故，
综上所述.

6. 已知椭圆：（）的焦距为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由． (13分)

【参考答案】 见解析
【相关知识点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【试题解答】 审题（I）椭圆：（）的焦距为等价

由题意，可得…①
过点.等价
由点在椭圆C上，得…②
联解①②，可得且，
椭圆的方程为；
（II）（）为椭圆上一点，等价可得


过点作轴的垂线，垂足为等价。由题意，得，
取点，连接，过点作的垂线交轴于点．等价

设可得 ，
∵，可得
∴，即，得
点是点关于轴的对称点，作直线等价

∵点是点关于轴的对称点，∴点的坐标为
因此，直线的斜率为
又∵点在椭圆上，可得
∴
由此可得直线的方程为：
这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点等价。

代入椭圆方程，化简得
将和代入上式，得，
化简得，
所以，从而可得是方程组的唯一解，即点是直线与椭圆的唯一公共点．
综上所述，可得直线与椭圆一定有唯一的公共点．