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条件概率与积的概率区别技巧

条件概率与积的概率区别技巧

举个例子,袋里有两个白球,一个黑球,无放回地摸两次,
问(1)两次都摸到白球的概率, (2)已知第一次摸到了白球,第二次也摸到白球的概率

以下用C(n,m)表示从n个元素中取出m个的组合数。并设A=第一次摸到白球, B=第二次摸到白球
(1)就是求事件AB的概率,它等价于,同时摸两个球,摸到的都是白球,所以概率
P(AB)=C(2,2)/C(3,2)=1/3
(2)是求在A已经发生的条件下,B的概率,即P(B|A), 也就是说第一次已经摸掉了一个白球,那么在第二次摸的时候,只有一个黑球,一个白球,于是 P(B|A)=1/2。
我们现在从另外一方面来得到这个结果,显然有P(A)=2/3, 而前面已经得到 P(AB)=1/3
于是 P(AB)/P(A)=(1/3)/(2/3)=1/2 恰好就等于 P(B|A)
综上 (1)是P(AB),  (2)是P(AB)/P(A)
它们的区别在哪儿呢?其实把样本空间写出来就知道了
(1) 的样本空间是 {(黑,白),(白,黑),(白,白)} ,也就是说第一摸球的时候,是有可能摸到黑球的,但是(2)由于已经知道了,第一次摸到的一定是白的,所以(黑,白)这种情况不可能发生,因次(2)的样本空间只有 {(白,黑),(白,白)}
因此在随机试验可以分成几个步骤时,如果前面的步骤已经有了确定的结果,那就是条件概率,需要用到  P(AB)/P(A)类似的公式。

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