查看完整版本: 2014湖北文压轴题用运动观点解公共点技巧

2014湖北文压轴题用运动观点解公共点技巧

2014湖北文科  5. 在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围． (14分)

审题分析运动观点，斜率从0变化到相切再到不存在，后变负数相切到平行轴三个过程就是公共点个数的过程。

【参考答案】  见解析
  【试题解答】  （Ⅰ）设点，依题意得，即，
化简整理得，
故点的轨迹的方程为；
（Ⅱ）在点的轨迹中，记，
依题意，可设直线的方程为，
由方程组，可得，①
（1）当时，此时，把代入轨迹的方程，得，
故此时直线与轨迹恰好有一个公共点；
（2）当时，方程①的判别式为    ②
设直线与轴的交点为，则由，令，得，③
（i）若，由②③解得，或，
即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，
故此时直线与轨迹恰好有一个公共点，
（ii）若，或，由②③解得，或，
即当时时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点，
当时，直线与有两个公共点，与没有公共点，
故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点，
（iii）若，由②③解得，或，
即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，
故此时直线与轨迹恰好有三个公共点；
综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；
当时，直线与轨迹恰好有三个公共点.