admin 2012-9-2 14:43
圆锥曲线与直线
江苏高考[align=left][b][font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][/b][b][size=10.5pt][font=Times New Roman]2012[/font][/size][/b][b][font=宋体][size=10.5pt]年江苏省[/size][/font][/b][b][size=10.5pt][font=Times New Roman]16[/font][/size][/b][b][font=宋体][size=10.5pt]分）[/size][/font][/b][font=宋体][size=10.5pt]如图，在平面直角坐标系[/size][/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体][size=10.5pt]中，椭圆[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] x*2/a*2+y*2/b*2=1[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]的左、右焦点分别为[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] F1,F2[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]．已知[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] C(1,e)[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]和(e,根号3/2）[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]都在椭圆上，其中[/size][/font][font=Times New Roman] e[/font][font=宋体][size=10.5pt]为椭圆的离心率．[/size][/font][size=10.5pt][/size][/align]
[font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]1[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）求椭圆的方程；[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]2[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）设[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] A,B[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]是椭圆上位于x[/size][/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体][size=10.5pt]轴上方的两点，且直线AF1[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]与直线BF2[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]平行，[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] AF2[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]与BF1[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]交于点[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]P[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]．[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]i[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）若[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] AF1-BF2=根号6/2[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，求直线AF1[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]的斜率；[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[align=left][font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]ii[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）求证：PF1+PF2[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]是定值．[/size][/font][size=10.5pt][/size][/align]
[align=center][size=10.5pt][/size][/align]
[b][font=宋体][size=10.5pt]【答案】[/size][/font][/b][font=宋体]解：[/font][font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]1[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）[/size][/font][font=宋体]由题设知，[/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体]，由点[/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]在椭圆上，得[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[font=宋体]，∴[/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]。[/font]
[font=宋体]由点[/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]在椭圆上，得[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][/size]
[font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][font=宋体][size=10.5pt]椭圆的方程为[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]2[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）由（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]1[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）得[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，又∵[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∥[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][font=宋体][size=10.5pt]设[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]、[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]的方程分别为[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。①[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]同理，[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。②[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]i[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）由①②得，[/size][/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]。解[/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]得[/font][font=Times New Roman] [/font][font=Times New Roman]=2[/font][font=宋体]。[/font]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∵[/size][/font][font=宋体][size=10.5pt]注意到[/size][/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]，[/font][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]。[/font]
[font=Times New Roman] [/font][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][font=宋体][size=10.5pt]直线[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]的斜率为[/size][/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]。[/font]
[font=Times New Roman] [/font][font=宋体][size=10.5pt]（[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman]ii[/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]）证明：∵[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∥[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，即[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]由点[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]在椭圆上知，[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]，∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]同理。[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]由①②得，[/size][/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]，[/font][font=Times New Roman] [/font][font=宋体]，[/font]
[font=Times New Roman] [/font][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]∴[/size][/font][size=10.5pt][font=Times New Roman] [/font][/size][font=宋体][size=10.5pt]是定值。[/size][/font][size=10.5pt][/size]
[b][font=宋体][size=10.5pt]【考点】[/size][/font][/b][font=宋体][size=10.5pt]椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。[/size][/font][b][size=10.5pt][/size][/b]